피보나치 수열의 예

짚으로 만든 생활용품들을 관람한 적이 있다. 이 중에서도 짚으로 만든 여치 집은 수학적인 도형을 닮았다. 원뿔 형태로 소용돌이 모양의 선(나선)을 만들며 감아 내려온 모양이다.(그림 1) 같은 모양의 나선은 소라에서도 발견된다.(그림 2) 이런 나선은 원뿔면을 따라 만들어지므로 수학에선 원뿔나선이라고 불린다. 이 곡선을 평면에 나타내 중심을 향해 감아 들어가거나 중심에서 감아 나온 나선으로 설명할 수 있다. 평면 위에 그려진 나선의 성질을 수학적인 관점에서 살펴보자.

관찰하고 추측하기

1. 고정된 한 점에서 곡선 위 임의의 한 점까지 선분을 그리면 선분에 의해 잘려진 곡선이 이루는 각이 모두 같은 나선이 있다. 이것을 수학에선 등각나선이라고 부른다. 매는 먹이를 따라갈 때 등각나선을 따라 비행하는 것으로 알려져 있다.(그림 3) 송골매는 시속 약 330㎞로 날 수 있다고 한다. 나선보다 직선으로 날면 훨씬 더 빠를 텐데 송골매는 왜 나선으로 나는 걸까? 이유는 매의 눈이 양 옆에 있어서 머리를 기준으로 한쪽 방향에 있는 목표물을 볼 수 있는 각도가 40도이기 때문이다. 송골매는 등각나선을 따라 날아야 최고 속도를 유지하면서도 자신의 먹이를 따라갈 수 있는 것이다.

2. 앵무조개 껍데기의 단면을 살펴보자. ‘살아 있는 화석’으로 불리는 이 조개는 여러 방으로 이루어져 있고 격벽으로 분리되어 있다. 두 개의 턱이 앵무새의 주둥이 모양을 닮아서 앵무조개라고 불린다. 흰 점처럼 보이는 부분을 곡선으로 연결하면 이 곡선이 등각나선임을 알 수 있다.(그림 4) 앵무조개는 왜 등각나선을 좋아하는 걸까? 관찰과 추측은 사고력 향상의 디딤돌이다.

조금 더 생각하기

1. 닮은 꼴 이등변삼각형들을 이용하면 아름다운 등각나선을 그릴 수 있다. 먼저 각도기와 자를 이용해 세 각이 각각 36, 72, 72도인 큰 이등변삼각형을 그린다. 이 이등변삼각형 안에 같은 각도의 작은 이등변삼각형을 그릴 수 있을 때까지 여러 개 그린다. 컴퍼스를 이용해 중심을 바꿔 가며 원호를 서로 이어서 그리면 아름다운 등각나선을 얻을 수 있다.(그림 5)

2. 이번엔 닮은꼴 정사각형들을 이용해 근사적인 등각나선을 그려 보자. 먼저 각도기와 자를 이용해 한 변의 길이가 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형들을 그림처럼 이어 붙여 그린다. 이 정사각형 안에 중심을 옮겨 가며 사분원(원의 4분의 1)의 원호를 여러 개 이어서 그리면 근사적인 등각나선을 얻을 수 있다.(그림 6)

그런데 정사각형의 한 변의 길이들은 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13인 관계를 만족한다. 이 관계는 피보나치 수열의 가장 단순한 성질이다. 결국 정사각형의 변의 길이가 작은 것부터 차례로 나열하면 피보나치 수열을 이룬다. 이런 관점에서 근사적인 등각나선은 피보나치 나선이라고 불리기도 한다.